Cómo Determinar Si Dos Triángulos Son Semejantes
Dos triángulos son semejantes si:
- todos sus ángulos son iguales
- los lados correspondientes están en la misma proporción
Hay tres formas de averiguar si dos triángulos son semejantes: AA, LAL y LLL:
AA
AA significa "ángulo, ángulo" y significa que los triángulos tienen dos de sus ángulos iguales.
Si dos triángulos tienen dos de sus ángulos iguales, los triángulos son semejantes.
Ejemplo: estos dos triángulos son semejantes:
Si dos de sus ángulos son iguales, entonces el tercer ángulo también debe ser igual, porque la suma de los ángulos de un triángulo siempre es 180°.
En este caso, el ángulo que falta es 180° − (72° + 35°) = 73°
Entonces AA también podría llamarse AAA (porque cuando dos ángulos son iguales, los tres ángulos deben ser iguales).
LAL
LAL significa "lado, ángulo, lado" y significa que tenemos dos triángulos donde:
- la relación entre dos lados es la misma que la relación entre otros dos lados
- y también sabemos que los ángulos entre dichos lados son iguales.
Si dos triángulos tienen dos pares de lados en la misma proporción y los ángulos en medio de dichos lados también son iguales, entonces los triángulos son semejantes.
Ejemplo:
- un par de lados tiene una proporción de 21: 14 = 3: 2
- otro par de lados está en la proporción de 15:10 = 3: 2
- hay un ángulo coincidente de 75° entre ellos
Usando trigonometría
También podríamos usar Trigonometría para calcular los otros dos lados usando la Ley de Cosenos:
Ejemplo (Continuación)
En el triángulo ABC:
- a2 = b2 + c2 − 2bc cos A
- a2 = 212 + 152 − 2 × 21 × 15 × Cos75°
- a2 = 441 + 225 − 630 × 0.2588...
- a2 = 666 − 163.055...
- a2 = 502.944...
- Entonces a = √502.94 = 22.426...
En el triángulo XYZ:
- x2 = y2 + z2 − 2yz cos X
- x2 = 142 + 102 − 2 × 14 × 10 × Cos75°
- x2 = 196 + 100 − 280 × 0.2588...
- x2 = 296 − 72.469...
- x2 = 223.530...
- Entonces x = √223.530... = 14.950...
Ahora verifiquemos la relación de esos dos lados:
a : x = 22.426... : 14.950... = 3 : 2
¡Es la misma proporción que antes!
Nota: también podemos utilizar la Ley de Senos para mostrar que los otros dos ángulos son iguales.
LLL
LLL significa "lado, lado, lado" y significa que tenemos dos triángulos con los tres pares de lados correspondientes en la misma razón.
Si dos triángulos tienen tres pares de lados en la misma proporción, entonces los triángulos son semejantes.
Ejemplo:
En este ejemplo, las relaciones de lados son:
- a : x = 6 : 7.5 = 12 : 15 = 4 : 5
- b : y = 8 : 10 = 4 : 5
- c : z = 4 : 5
Estas razones son todas iguales, por lo que los dos triángulos son semejantes.
Usando trigonometría
Usando Trigonometría podemos demostrar que los dos triángulos tienen ángulos iguales usando la Ley de Cosenos en cada triángulo:
En el triángulo ABC:
- cos A = (b2 + c2 − a2)/2bc
- cos A = (82 + 42 − 62)/(2× 8 × 4)
- cos A = (64 + 16 − 36)/64
- cos A = 44/64
- cos A = 0.6875
- Entonces Ángulo A = 46.6°
En el triángulo XYZ:
- cos X = (y2 + z2 − x2)/2yz
- cos X = (102 + 52 − 7.52)/(2× 10 × 5)
- cos X = (100 + 25 − 56.25)/100
- cos X = 68.75/100
- cos X = 0.6875
- Entonces Ángulo X = 46.6°
¡Entonces los ángulos A y X son iguales!
De manera similar, podemos mostrar que los ángulos B y Y son iguales y los ángulos C y Z son iguales.
¡Refuerza tu aprendizaje resolviendo los siguientes retos sobre este tema! (Nota: están en inglés).
