Sólidos Platónicos - ¿Por Qué 5?
Un sólido platónico es una figura 3D en la que:
- cada cara es el mismo polígono regular
- el mismo número de polígonos coinciden en cada vértice (esquina)
Solo hay cinco de ellos ... ¿Por qué?
La razón más simple: los ángulos en un vértice
La razón más simple por la que solo hay 5 sólidos platónicos es esta:
En cada vértice coinciden al menos 3 caras (tal vez más).
Cuando sumamos los ángulos internos que coinciden en un vértice,
esta suma debe ser inferior a 360 grados.
¡Porque a 360° la forma se aplana!
Y, dado que las caras de los sólidos platónicos son todos polígonos regulares idénticos, tenemos:
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Un triángulo regular tiene ángulos internos de 60°, por lo que pueden coincidir:
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Un cuadrado tiene ángulos internos de 90°, por lo que solo pueden coincidir:
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Un pentágono regular tiene ángulos internos de 108°, por lo que solo pueden coincidir:
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Un hexágono regular tiene ángulos internos de 120°, pero 3×120°=360° que no funcionará porque a 360° la forma se aplana. Así que un pentágono regular es lo más lejos que podemos llegar. |
Y este es el resultado:
| En cada vértice | Ángulo en el vértice (Menor a 360°) |
Sólido | |
|---|---|---|---|
| Coinciden 3 triángulos | 180° | tetraedro | |
| Coinciden 4 triángulos | 240° | octaedro | |
| Coinciden 5 triángulos | 300° | icosaedro | |
| Coinciden 3 cuadrados | 270° | cubo | |
| Coinciden 3 pentágonos | 324° | dodecaedro | |
Cualquier otra alternativa tiene 360° o más en un vértice, lo cual es imposible. Ejemplos:
- 4 pentágonos regulares (4×108° = 432°) no funcionarán
- 3 hexágonos regulares (3×120° = 360°) no funcionarán, etc.
Sólo funcionan cinco formas porque el ángulo total en cada vértice debe ser inferior a 360°.
Y esa es la razón más simple.
Otra razón (usando Topología)
Solo por diversión, veamos otra razón (un poco más complicada).
En pocas palabras: es imposible tener más de 5 sólidos platónicos, porque cualquier otra posibilidad viola reglas simples sobre el número de aristas, esquinas y caras que podemos tener juntas.
Comienza con la Fórmula de Euler ...
Fórmula de Euler
¿Conoces la Fórmula de Euler?
Dice: para cualquier poliedro convexo (lo cual incluye los Sólidos Platónicos), el Número de Caras más el Número de Vértices (puntos de las esquinas) menos el Número de Aristas siempre es igual 2
Se escribe: C + V − A = 2
Un cubo tiene 6 caras, 8 vértices y 12 aristas,
Por lo tanto:
6 + 8 − 12 = 2
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Para ver por qué funciona, imagina tomar el cubo y agregar
un borde 7 + 8 − 13 = 2 |
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O intenta incluir otro vértice, 6 + 9 − 13 = 2. |
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| "No importa lo que hagamos, siempre
terminamos con 2" (Pero solo para este tipo de Poliedros ... ¡sigue leyendo!) |
Caras que coinciden
A continuación, piensa en un típico sólido platónico. ¿Qué tipo de caras tiene y cuántas coinciden en una esquina (vértice)?
| Las caras pueden ser triángulos (3 lados), cuadrados (4 lados), etc. | |
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Llamemos a esto "s", el número de lados que tiene cada cara. |
| Además, en cada esquina, ¿cuántas caras coinciden? Para un cubo, coinciden 3 caras en cada esquina. Para un octaedro, coinciden 4 caras en cada esquina. | |
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Llamemos a esto "m" (cuántas caras coinciden en una esquina). |
(Esos dos valores son suficientes para mostrar qué tipo de sólido es).
¡Sólidos que revientan!
Ahora, imagina que separamos un sólido, cortando cada cara.
Obtenemos todas estas pequeñas formas planas. Y hay el doble de bordes
(porque cortamos a lo largo de cada borde).
Y cada cuadrado tiene 4 aristas, lo que hace un total de 24 aristas (en comparación a 12 aristas cuando se unen para formar un cubo).
Entonces, ¿cuántos bordes? El doble del número original de aristas "A", o simplemente 2A
Pero esto también es lo mismo que contar todos los bordes de las pequeñas formas. Hay s (número de lados por cara) por C (número de caras).
Esto se puede escribir como sC
= 2A
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Asimismo, cuando lo cortamos, lo que era una
esquina ahora será varias esquinas. |
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- El nuevo número de esquinas es: cuántas caras coinciden en una esquina (m) multiplicado por cuántos vértices son en el sólido original (V), lo que es mV
- El nuevo número de aristas es: el doble que en el sólido original, que es 2A
Esto se puede escribir como mV
= 2A
Juntando las ecuaciones
Esas son todas las ecuaciones que necesitamos, usémoslas juntas:
sC = 2A, por lo que C
= 2A/s
mV = 2A, por lo que V = 2A/m
Ahora pongámoslas en "C+V−A=2":
C + V − A = 2
2A/s + 2A/m − A = 2
A continuación, un poco de reordenamiento ... divide todo por "2A":
1/s + 1/m − 1/2 = 1/A
Ahora, "A", el número de aristas, no puede ser menor que cero, por lo que "1/A" no puede ser menor que 0:
1/s + 1/m − 1/2 > 0
O, más simplemente:
1/s + 1/m > 1/2
Entonces, todo lo que tenemos que hacer ahora es probar diferentes valores de:
- "s" (número de lados que tiene cada cara, no puede ser menor que 3), y
- "m" (número de caras que coinciden en una esquina, no puede ser inferior a 3),
¡Y terminamos!
¡Las posibilidades!
Las posibles respuestas son:
| s | m | 1/s+1/m | > 0.5 ? |
|---|---|---|---|
| 3 | 3 | 0.666... |  |
| 3 | 4 | 0.583... | |
| 4 | 3 | 0.583... | |
| 4 | 4 | 0.5 |  |
| 5 | 3 | 0.533... | |
| 3 | 5 | 0.533... | |
| 5 | 4 | 0.45 | |
| 4 | 5 | 0.45 | |
| 5 | 5 | 0.4 | |
| etc... | ... | ... | |
Ejemplo: s=5, m=5
1/s + 1/m − 1/2 = 1/A al sustituir nos queda:
lo que hace que A (número de aristas) = −10, ¡y no podemos tener un número negativo de aristas!
¿Reales?
Y el último paso es ver si esos sólidos son reales:
| s | m | Lo que significa | Sólido | |
|---|---|---|---|---|
| 3 | 3 | 3 triángulos coinciden en cada esquina | tetraedro | |
| 3 | 4 | 4 triángulos coinciden en cada esquina | octaedro | |
| 4 | 3 | 3 cuadrados coinciden en cada esquina | cubo | |
| 5 | 3 | 3 pentágonos coinciden en cada esquina | dodecaedro | |
| 3 | 5 | 5 triángulos coinciden en cada esquina | icosaedro | |
Entonces, solo hay 5, y todos existen.
Trabajo completado.
¡Schläfli!
Y solo para mantenerte bien educado ... los valores "s" y "m" juntos entre llaves {} conforman lo que se llama el "símbolo Schläfli" para poliedros:
Ejemplos:
- El símbolo Schläfli del Octaedro es {3,4},
- y el del Icosaedro es {3,5},
¿Puedes hallar los demás?
