Media Proporcional
... y las reglas de la Altura y de los Catetos
Media Proporcional
La media proporcional de a y b es el siguiente valor de x:
ax = xb
"a es a x, como x es a b"
Parece un poco difícil de resolver, ¿no?
Pero cuando nosotros multiplicamos
cruzado (es decir, multiplicamos ambos lados por b y
también por x) obtenemos:
|
ax = xb |
 |
abx = x |
|
ab = x2 |
Y ahora podemos resolver x:
x = √(ab)
Ejemplo: ¿Cuál es la media proporcional de 2 y 18?
Se nos pregunta "¿Cuál es el valor de x aquí?"
2x = x18
"2 es a x, como x es a 18"
Sabemos cómo solucionarlo:
x = √(2×18) = √(36) = 6
Y esto es con lo que terminamos:
26 = 618
Básicamente dice que el 6 es el "valor en medio de las multiplicaciones". (2 por 3 es 6, 6 por 3 es 18)
(También es la media geométrica de los dos números).
Un ejemplo más para que tengas una idea sólida:
Ejemplo: ¿Cuál es la media proporcional de 5 y 500?
x = √(5×500)
x = √(2500) = 50
Entonces es así:
Triángulos en ángulo recto
Podemos usar la media proporcional con triángulos rectángulos.
Primero, algo interesante:
- Toma un triángulo rectángulo sentado sobre su hipotenusa (lado largo)
- Traza la línea de altura
- Esa línea divide el triángulo en otros dos triángulos, ¿no?
¡Esos dos nuevos triángulos son semejantes
entre sí, y al triángulo original!
Esto se debe a que todos tienen los mismos tres ángulos.
Pruébalo tú mismo: corta un triángulo rectángulo de una hoja de papel,
luego córtalo a través de la altura y mira si las piezas son realmente
similares.
Podemos usar este conocimiento para resolver algunas cosas.
De hecho tenemos dos reglas:
Regla de la altura
La altura es la media proporcional entre las partes izquierda y derecha de la hipotenusa, así:
Ejemplo: Encuentra la altura h (AD)
Usa la regla de la altura
izquierdaaltura = alturaderecha
Con los datos que tenemos es:
4.9h = h10
Ahora despejamos h:
Regla de los catetos
Cada cateto del triángulo es la media proporcional entre la hipotenusa y la parte de la hipotenusa directamente debajo del cateto:
 |
and |  |
Ejemplo: ¿Cuánto es x (la longitud del cateto AB)?
Primero encuentra la hipotenusa: BC = BD + DC = 9 + 7 = 16
Ahora usa la regla de los catetos:
hipotenusacateto = catetoparte izq
Con los datos que tenemos es:
16x = x9
Ahora despejamos x:
Aquí hay un ejemplo del mundo real:
Ejemplo: ¡A Lizeth le encantan las cometas!
Lizeth quiere hacer una cometa realmente grande:
- Tiene dos puntales PR y QS que se cruzan en ángulo recto en O.
- PO = 80 cm y OR = 180 cm.
- La tela de la cometa tiene ángulos rectos en Q y S.
Lizeth quiere saber la longitud del puntal QS y también la longitud
de cada lado.
Solo necesitamos mirar la mitad de la cometa para hacer los
cálculos. Aquí está la mitad izquierda rotada 90° en sentido
horario.
Usamos la regla de la altura para hallar h:
Entonces, toda la longitud del puntal QS = 2 × 120 cm = 240 cm
La longitud RP = RO + OP = 180 cm + 80 cm = 260 cm
Ahora usa la regla de los catetos para encontrar r (cateto QP):
Usa nuevamente la regla de los catetos para hallar p (cateto QR):
Dile a Lizeth que el puntal QS será de 240 cm y los lados serán 144 cm y 216 cm.
¡Estará esperando el próximo día con mucho viento!
¡Refuerza tu aprendizaje resolviendo los siguientes retos sobre este tema! (Nota: están en inglés).
