Teorema del Ángulo entre Secantes
Esta es la idea (a, b y c son ángulos):
Y aquí está con algunos valores reales:
En palabras: el ángulo formado por dos secantes (una línea que corta un círculo en dos puntos) que se cruzan fuera del círculo es la mitad de la resta del arco más lejano menos el arco más cercano.
¿Por qué no intentas dibujar uno tú mismo,
medirlo con un transportador,
y ver lo que obtienes?
También funciona cuando cualquiera de las líneas es una tangente (una línea que solo toca un círculo en un punto). Aquí vemos el caso "ambas son tangentes":
¡Eso es! Ahora lo sabes.
Pero, ¿cómo es posible?
¿Esto es magia?
Bueno, podemos probarlo si quieres:
AC y BD son dos secantes que se cruzan en el punto P fuera del
círculo. ¿Cuál es la relación entre el ángulo CPD y los arcos AB y
CD?
Comenzamos diciendo que el ángulo subtendido por el arco CD en O es 2θ y el arco subtendido por el arco AB en O es 2Φ
Por el Teorema del Ángulo Central:
∠DAC = ∠DBC = θ y ∠ADB = ∠ACB = Φ
Y PAC es 180°, por lo que:
∠DAP = 180° − θ
Ahora usemos que los ángulos internos de un triángulo suman 180° en el triángulo APD:
∠CPD = 180° − (∠DAP + ∠ADP)
∠CPD = 180° − (180° − θ + Φ) = θ − Φ
∠CPD = θ − Φ
∠CPD = ½(2θ − 2Φ)
¡Listo!
¡Refuerza tu aprendizaje resolviendo los siguientes retos sobre este tema! (Nota: están en inglés).
