Teoremas de Círculos
Algunas cosas interesantes sobre ángulos y círculos.
Ángulo Inscrito
En primer lugar, una definición:
Ángulo Inscrito: un ángulo formado por puntos situados en la circunferencia del círculo.
A y C son "puntos extremos"
B es el "vértice"
Puedes jugar aquí:
Cuando mueves el punto "B", ¿qué pasa con el ángulo?
Teoremas del Ángulo Inscrito
Un ángulo inscrito a° es la mitad del ángulo central 2a°
(Se llama Teorema del Ángulo Central)
Y (manteniendo los puntos extremos fijos) ...
... el ángulo a° es siempre
el mismo,
no importa dónde se encuentre, mientras describa el mismo arco entre
los puntos extremos:
El ángulo a° es el mismo.
(Se llama Teorema del Ángulo Inscrito que Subtiende un Mismo Arco)
Ejemplo: ¿Cuánto mide el Ángulo POQ? (O es el centro del círculo)
Ángulo POQ = 2 × Ángulo PRQ = 2 × 62° = 124°
Ejemplo: ¿Cuánto mide el Ángulo CBX?
Ángulo ADB = 32° es igual al Ángulo ACB.
Y el Ángulo ACB también es igual al Ángulo XCB.
Así que en el triángulo BXC conocemos el valor del Ángulo BXC = 85°
y del Ángulo XCB = 32°
Ahora usa el hecho de que los ángulos de un triángulo suman 180°:
Ángulo en un semicírculo (Teorema de Tales)
Un ángulo inscrito a lo largo del diámetro de un círculo es siempre un ángulo recto:
(Los puntos extremos son los extremos del diámetro de un círculo.
El vértice puede estar en cualquier parte de la circunferencia).
|
¿Por qué? Porque: El ángulo inscrito 90° es la mitad del ángulo central 180° (Usando el "Teorema del Ángulo Central" de arriba). |
 |
Otra buena razón por la que funciona
¡También podríamos rotar la figura 180° para hacer un rectángulo!
En efecto, es un rectángulo, porque todos los lados
son paralelos y ambas diagonales son iguales.
Por lo tanto, sus ángulos internos son todos ángulos rectos (90°).
Ejemplo: ¿Cuánto mide el Ángulo BAC?
El Ángulo en el Teorema del Semicírculo nos dice que el Ángulo ACB = 90°
Ahora usa que los ángulos de un triángulo suman 180° para encontrar el Ángulo BAC:
¡Así que ahí lo tenemos! No importa dónde esté ese
ángulo
en la circunferencia, siempre es 90°
Encontrar el centro de un círculo
Podemos usar esta idea para encontrar el centro de un círculo:
- dibuja un ángulo recto desde cualquier lugar de la circunferencia del círculo, luego dibuja el diámetro donde los dos segmentos intersectan el círculo
- haz eso de nuevo pero para un diámetro diferente
¡El centro está en el punto de cruce de los diámetros!
Dibujar un círculo a partir de dos puntos opuestos
Cuando conocemos dos puntos opuestos en un círculo, podemos dibujar ese círculo.
Coloca algunos alfileres o clavos en esos puntos y usa una escuadra de esta manera:
Cuadrilátero cíclico
|
Un Cuadrilátero "cíclico" tiene todos sus vértices sobre la circunferencia de un círculo: |
 |
|
En un cuadrilátero cíclico, los ángulos opuestos suman 180°:
|
 |
Ejemplo: ¿Cuánto mide el Ángulo WXY?
Los ángulos opuestos de un cuadrilátero cíclico suman 180°
 |
Ángulo tangenteUna línea tangente
solo toca al círculo en un punto. |
¡Refuerza tu aprendizaje resolviendo los siguientes retos sobre este tema! (Nota: están en inglés).
