Probabilidad Condicional
Cómo trabajar con eventos dependientes
¡La vida está llena de eventos al azar! Necesitas tener una intuición y comprensión de estos eventos para que seas una persona inteligente y exitosa.
Eventos independientes
Los eventos pueden ser "Independientes", lo que significa que cada evento no se ve afectado por ningún otro evento.
Ejemplo: lanzar una moneda
Cada lanzamiento de una moneda es una cosa perfectamente aislada.
La forma en que cayó en el pasado no afectará el lanzamiento actual.
La posibilidad es simplemente 1 en 2, o 50%, al igual que en CUALQUIER
lanzamiento de la moneda.
Por lo tanto, cada lanzamiento es un evento independiente.
Eventos dependientes
Pero los eventos también pueden ser "dependientes" ... lo que significa que pueden verse afectados por eventos anteriores ...
Ejemplo: canicas en una bolsa
2 canicas azules y 3 rojas están en una bolsa.¿Cuáles son las posibilidades de obtener una canica azul?
Las posibilidades son 2 en 5
Pero después de sacar una, ¡las posibilidades cambian!Entonces la próxima vez:
Si previamente sacamos una canica roja, entonces las
posibilidades de sacar una canica azul después son 2 en 4
Si previamente sacamos una canica azul, entonces las
posibilidades de sacar una canica azul después son 1 en 4
Entonces, el próximo evento depende de lo que sucedió en el evento anterior, y se llama dependiente.
Reemplazo
Nota: si reemplazamos las canicas en la bolsa cada vez, entonces las posibilidades no cambian y los eventos son independientes:
- Con reemplazo: los eventos son independientes (las posibilidades no cambian)
- Sin reemplazo: los eventos son dependientes (las posibilidades cambian)
Los eventos dependientes son lo que estamos viendo aquí.
Diagrama de Árbol
Un Diagrama de Árbol es
una manera maravillosa de imaginar lo que está sucediendo, así que
construyamos uno para nuestro ejemplo de canicas.
Hay una probabilidad de 2/5 de sacar una canica azul y una probabilidad
de 3/5 de roja:
Podemos ir un paso más allá y ver qué sucede cuando elegimos una segunda canica:
Si primero se seleccionó una canica roja, ahora hay una probabilidad de 2/4 de obtener una canica azul y una probabilidad de 2/4 de obtener una canica roja.
Respuesta: primero hay una probabilidad de 2/5 seguida de una probabilidad de 1/4:
La probabilidad de sacar 2 canicas azules es 1/10
Notación
¡Amamos una buena notación en matemáticas! Una buena notación nos puede permitir usar el poder del álgebra para jugar con las ideas. Así que aquí está la notación de probabilidad:
P(A) significa "Probabilidad del Evento A"
En nuestro ejemplo de canicas, el evento A es "obtener primero una canica azul" con una probabilidad de 2/5:
P(A) = 2/5
Y el Evento B es "obtener una segunda canica azul" ... pero para eso tenemos 2 opciones:
- Si primero sacamos una canica azul, la probabilidad ahora es 1/4
- Si primero sacamos una canica roja, la probabilidad ahora es 2/4
Entonces tenemos que decir cuál queremos y usar el símbolo "|" que significa "dado":
P(B|A) significa "Probabilidad del Evento B dado que ocurre A"
En otras palabras, el evento A ya ha sucedido, ¿cuál es la probabilidad del evento B?
P(B|A) también se conoce como
"probabilidad condicional" de B dado A.
Y en nuestro caso:
P(B|A) = 1/4
Entonces la probabilidad de obtener 2 canicas azules es:
Y la escribimos como
"Probabilidad de evento A y evento B
es igual a
la probabilidad del evento A multiplicado por la probabilidad
del evento B dado el evento A"
Hagamos el siguiente ejemplo usando solo la notación:
Ejemplo: sacar 2 reyes de un mazo
El evento A es sacar un Rey en la primera carta, y el evento B es sacar un Rey en la segunda.Para la primera carta, la probabilidad de sacar un Rey es 4 de 52 (hay 4 Reyes en un mazo de 52 cartas):
P(A) = 4/52
Pero después de eliminar un Rey del mazo, la probabilidad de que la segunda carta sea un Rey es menos probable (solo quedan 3 de las 51 cartas restantes):
P(B|A) = 3/51
Así que:
P(A y B) = P(A) x P(B|A) = (4/52) x (3/51) = 12/2652 = 1/221
Entonces, la probabilidad de obtener 2 Reyes en las primeras dos cartas es de 1 en 221, o aproximadamente 0.5%
Encontrar datos ocultos
Usando Álgebra también podemos "cambiar el enfoque" de la fórmula, así:
| Empieza con: | P(A y B) = P(A) x P(B|A) | |
| Voltea los lados: | P(A) x P(B|A) = P(A y B) | |
| Divide entre P(A): | P(B|A) = P(A y B) / P(A) |
Y tenemos otra fórmula útil:
"La probabilidad del evento B dado el evento
A es igual
La probabilidad del evento A y el evento B dividida
por la probabilidad del evento A"
Ejemplo: helados
Al 70% de tus amigos les gusta el chocolate, y al 35% les gusta el chocolate Y les gusta la fresa.¿A qué porcentaje de los que les gusta el chocolate también les gusta la fresa?
P(Fresa|Chocolate) = P(Chocolate y Fresa) / P(Chocolate)
Al 50% de tus amigos que les gusta el chocolate también les gusta la fresa.
Un ejemplo completo: un partido de fútbol
Estás camino a jugar fútbol y quieres ser el portero, pero eso depende de quién sea el entrenador hoy:- con el entrenador Sam tu probabilidad de ser portero es 0.5
- con el entrenador Alex, tu probabilidad de ser portero es 0.3
Entonces, ¿cuál es la probabilidad de que seas un portero hoy?
Hagamos un Diagrama de Árbol. Primero mostramos los dos posibles entrenadores: Sam o Alex:
Ahora, si el entrenador es Sam, hay 0.5 probabilidad de que seas portero (y 0.5 de no serlo):
Ssi el entrenador es Alex, hay 0.3 probabilidad de que seas portero (y 0.7 de no serlo):
El diagrama de árbol está completo, ahora calculemos las probabilidades generales. Recuerda esto:
P(A y B) = P(A) x P(B|A)
Aquí está cómo hacerlo para la rama "Sam, sí":
¡Pero aún no hemos terminado! No hemos incluido a Alex como entrenador:
Y las dos ramas "Sí" del árbol juntas suman:
0.3 + 0.12 = 0.42 probabilidad de que seas portero hoy
(Eso es una probabilidad del 42%)
Comprobación
Un último paso: completa los cálculos y asegúrate de que se sumen 1:
0.3 + 0.3 + 0.12 + 0.28 = 1
Sí, sumados dan 1, por lo que todo parece en orden.
Amigos y números aleatorios
Aquí hay otro ejemplo bastante diferente de probabilidad condicional.
4 amigos (Alex, Brenda, Cristian y Diana) cada uno elige un número aleatorio entre 1 y 5. ¿Cuál es la probabilidad de que alguno de ellos elija el mismo número?
Vamos analizando la pregunta añadiendo a un amigo a la vez
Primero, ¿cuál es la probabilidad de que Alex y Brenda tengan el mismo número?
Brenda compara su número con el número de Alex. Hay una probabilidad de 1 en 5 de una coincidencia.
Mediante un Diagrama de Árbol:
Nota: "Sí" y "No" en conjunto suman 1
(1/5 + 4/5 = 5/5 = 1)
Ahora, incluyamos a Cristian ...
Pero ahora hay dos casos a considerar:- Si Alex y Brenda sí coincidieron, entonces Cristian solo tiene un número para comparar.
- Pero si Alex y Brenda no coincidían, entonces Cristian tiene dos números para comparar.
Pero para "Alex y Brenda no coincidieron" ahora hay una probabilidad de 2/5 de que Cristian coincida (porque Cristian puede igualar su número con el de Alex o el de Brenda).
Y podemos calcular la probabilidad combinada multiplicando las posibilidades que se necesitaron para llegar allí:
Siguiendo el camino "No, Sí" ... hay una probabilidad de 4/5 de No, seguido de una probabilidad de 2/5 de Sí:
Siguiendo el camino "No, No" ... hay una probabilidad de 4/5 de No, seguida de una probabilidad de 3/5 de No:
También ten en cuenta que cuando sumamos todas las posibilidades, aún obtenemos 1 (una buena comprobación de que no nos hemos equivocado):
(5/25) + (8/25) + (12/25) = 25/25 = 1
¿Qué pasa cuando incluimos a Diana?
Es la misma idea, solo más extendida:
OK, eso son los 4 amigos, y las probabilidades de "Sí" juntas son 101/125:
Respuesta: 101/125
Pero aquí hay algo interesante ... si seguimos el camino "No" podemos omitir todos los otros cálculos y hacer nuestra vida más fácil:
Las posibilidades de no coincidir son:
(4/5) × (3/5) × (2/5) = 24/125
Así que las posibilidades de coincidir son:
1 - (24/125) = 101/125
(¡Y realmente no necesitábamos un diagrama de árbol para eso!)
Y ese es un truco famoso en probabilidad:
A menudo es más fácil resolver el caso "No"
(y restar de 1 para el caso "Sí")
(Esta idea se muestra con más detalle en Cumpleaños Repetidos).
¡Refuerza tu aprendizaje resolviendo los siguientes retos sobre este tema! (Nota: están en inglés).
