La evolución de los números
... una aventura por el mundo de los números.
Empecemos por el principio:
P: ¿Cuál es la idea más simple de un número?
R: ¡Algo con lo que contar!
Los números para contar
Podemos usar números para contar: 1, 2, 3, 4, etc.Los seres humanos han estado usando números para contar durante miles de años. Es algo muy natural de hacer.
- Puedes tener "3 amigos",
- un campo puede tener "6 vacas"
Entonces tenemos:
Números para contar: {1, 2, 3, ...}
Y los "números para contar" satisficieron a la gente durante mucho tiempo.
Cero
La idea del cero, aunque ahora es natural para nosotros, no era natural para los primeros humanos ... si no hay nada que contar, ¿cómo podemos contarlo?
Ejemplo: podemos contar perros, pero no podemos contar un espacio vacío:
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| Dos perros | ¿Cero perros? ¿Cero gatos? |
|---|
¡Un trozo de césped vacío es solo un trozo de césped vacío!
Marcador
Pero hace unos 3,000 años la gente necesitaba diferenciar entre números como 4 y 40. ¡Sin el cero se ven iguales!Entonces usaron un "marcador de posición", un espacio o un símbolo especial, para mostrar "aquí no hay dígitos".
| 5 2 | Entonces, "5 2" significaba "502" (5 centenas, nada para las decenas y 2 unidades) |
Número
La idea del cero había comenzado, pero no fue hasta otros mil años más o menos que la gente empezó a pensar en él como un número real.Pero ahora podemos pensar
Números enteros no negativos
Entonces, agreguemos cero a los números de conteo para hacer un nuevo conjunto de números.Pero necesitamos un nombre nuevo, y ese nombre es "números enteros":
Números enteros no negativos: {0, 1, 2, 3, ...}
Los números naturales
También puedes escuchar el término "Números naturales" ... que puede significar:- los "números de conteo": {1, 2, 3, ...}
- o los "números enteros no negativos": {0, 1, 2, 3, ...}
Números negativos
¡Pero la historia de las matemáticas se trata de personas que hacen preguntas y buscan las respuestas!Una de las buenas preguntas para plantear es:
"si podemos ir en una dirección, ¿podemos ir en la dirección opuesta?"
Podemos contar hacia adelante: 1, 2, 3, 4, ...
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... pero ¿y si contamos al revés? |
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La respuesta es: obtenemos números negativos:
Ahora podemos ir hacia adelante y hacia atrás tanto como queramos
Pero, ¿cómo puede ser "negativo" un número?
Simplemente siendo menor que cero.
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Un ejemplo sencillo es la temperatura. Definimos cero grados Centígrados (0°C) como cuando el agua se congela ... pero si la temperatura es aún más fría necesitamos temperaturas negativas para describir esto.De modo que −20°C es 20° por debajo de cero. |
¿Vacas negativas?
¡En teoría podemos tener una vaca negativa!Piensa en esto ... Si acabas de vender dos vacas, pero solo puedes encontrar una para entregar al nuevo propietario ... en realidad tienes menos una vaca ... ¡estás endeudado con una vaca!
Entonces existen números negativos, y vamos a necesitar un nuevo conjunto de números para incluirlos ...
Enteros
Si incluimos los números negativos con los números enteros, tenemos un nuevo conjunto de números que se llaman enteros.
Enteros: {..., −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, ...}
Los enteros incluyen el cero, los números de conteo y el negativo de los números de conteo, para formar una lista de números que se extienden en cualquier dirección indefinidamente.
Fracciones
¡Acabas de inventar un nuevo tipo de número!
Tomas un número (1) y lo divides por otro número (2) para obtener la mitad (1/2)
Lo mismo sucede cuando tenemos cuatro galletas (4) y queremos compartirlas entre tres personas (3) ... ellos obtienen (4/3) galletas cada una.Un nuevo tipo de número y un nuevo nombre:
Números racionales
Cualquier número que se pueda escribir como fracción se llama número racional.Entonces, si "p" y "q" son números enteros (recuerde que hablamos de números enteros), entonces p/q es un número racional.
Ejemplo: si p es 3 y q es 2, entonces:
p/q = 3/2 = 1.5 es un número racional
La única vez que esto no funciona es cuando q es cero, porque dividir entre cero no está definido.
Números racionales: {p/q : p y q son enteros, q no es cero}
Por lo que un medio (½) es un número racional.
Y 2 también es un número racional, porque podríamos
escribirlo como 2/1
Entonces, los números racionales incluyen:
- todos los enteros
- y todas las fracciones.
13.3168980325 = 133,168,980,32510,000,000,000
Eso parece incluir todos los números posibles, ¿verdad?
Pero hay más
La gente no dejaba de hacer las preguntas ... y aquí hay una que causó mucho alboroto durante la época de Pitágoras:
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Si dibujamos un cuadrado (de tamaño "1"), ¿cuál es la distancia a través de la diagonal? |
La respuesta es la raíz cuadrada de 2, que es 1.4142135623730950...(etc)
Pero no es un número como 3, o cinco tercios, ni nada de eso ...... de hecho, no podemos responder esa pregunta usando una razón de dos enteros
raíz cuadrada de 2 ≠ p/q
... y entonces no es un número racional (lee más aquí)
¡WOW! ¡Hay números que NO son números racionales! ¿Cómo los llamamos?
¿Qué es "no racional" ...? ¡Irracional!
Números irracionales
Entonces, la raíz cuadrada de 2 (√2) es un número irracional. Se llama
irracional porque no es racional (no se puede formar usando una simple
razón de números enteros). No es que se un número loco ni nada,
simplemente no es racional.
Y sabemos que hay muchos más números irracionales. Pi
(π) es uno muy famoso.
Utilidad
Entonces los números irracionales son útiles. Los necesitamos para- encontrar la distancia diagonal a través de algunos cuadrados,
- para realizar muchos cálculos con círculos (usando π),
Entonces realmente deberíamos incluirlos.
Y así, presentamos un nuevo conjunto de números ...
Números reales
¡Así es, otro nombre!Los números reales incluyen:
- los números racionales, y
- los números irracionales
Números reales: {x : x es un número racional o irracional}
De hecho, se puede pensar en un número real como cualquier punto en cualquier lugar de la recta numérica:
¡pero los números reales pueden tener muchas más posiciones decimales!
Cualquier punto en cualquier lugar de la recta numérica, ¡seguramente son suficientes números!
Pero hay un número más que ha resultado muy útil. Y una vez más, surgió de una pregunta.
Imagina ...
La pregunta es:
"¿hay una raíz cuadrada de menos uno?"
En otras palabras, ¿qué podemos multiplicar por sí mismo para obtener −1?Piensa en esto: si multiplicamos cualquier número por sí mismo, no podemos obtener un resultado negativo:
- 1×1 = 1,
- y también (−1)×(−1) = 1 (porque negativo por negativo da positivo)
Normalmente esto no es posible, pero ...
"si puedes imaginarlo, entonces puedes jugar con él"
Entonces, ...
Números imaginarios
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.... imaginemos que existe la
raíz cuadrada de menos uno. |
Y podemos usarlo para responder preguntas:
Ejemplo: ¿cuál es la raíz cuadrada de −9 ?
Respuesta: √(−9) = √(9 × −1) = √(9) × √(−1) = 3 × √(−1) = 3i
OK, la respuesta aún involucra i, pero da una respuesta sensata y consistente.
Además, i tiene esta interesante propiedad de que si la elevamos al cuadrado (i×i) obtenemos −1 que vuelve a ser un número real. De hecho, esa es la definición correcta:
Número imaginario: Un número cuyo cuadrado es un número real negativo.
También i (la raíz cuadrada de −1) multiplicada por cualquier número real es un número imaginario. Entonces estos son todos números imaginarios:
- 3i
- −6i
- 0.05i
- πi
También hay muchas aplicaciones para los números imaginarios, por ejemplo, en los campos de la electricidad y la electrónica.
Números reales vs imaginarios
Originalmente se reían de los números imaginarios, por lo que recibieron el nombre de "imaginarios". Y los números reales obtuvieron su nombre para distinguirlos de los números imaginarios.Entonces los nombres son solo una cosa histórica. Los números reales no están "en el mundo real" (de hecho, ¡intenta encontrar exactamente la mitad de algo en el mundo real!) Y los números imaginarios no están "solo en la imaginación" ... ¡Ambos son tipos de números válidos y útiles!
De hecho, a menudo se usan juntos ...
"¿Qué pasa si unimos un número real y un número imaginario?"
Números complejos
Sí, si juntamos un número real y un número imaginario obtenemos un nuevo tipo de números llamados números complejos, y estos son algunos ejemplos:
- 3 + 2i
- 27.2 − 11.05i
Un número complejo tiene una parte real y una parte imaginaria, pero cualquiera puede ser cero.
- 4 es un número complejo (porque es 4 + 0i)
- 7i es un número complejo (porque es 0 + 7i)
Entonces, los números complejos incluyen todos los números reales y todos los números imaginarios, y todas las combinaciones de ellos.
¡Y eso es todo!
Esos son todos los tipos de números más importantes en matemáticas.
Hay otros tipos de números, porque las matemáticas son un tema amplio, pero eso debería ser suficiente por ahora.
Resumen
Aquí van de nuevo.
| Tipo de número | Descripción breve |
|---|---|
| Números de conteo | {1, 2, 3, ...} |
| Naturales | {0, 1, 2, 3, ...} |
| Enteros | {..., −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, ...} |
| Racionales | p/q : p y q son enteros, q no es cero |
| Irracionales | No es racional |
| Reales | Racionales e irracionales |
| Imaginarios | Al elevarlos al cuadrado da un número real negativo |
| Complejos | Combinaciones de números reales e imaginarios |
Notas finales
Historia
La historia de las matemáticas es muy amplia, con diferentes culturas (griegas, romanas, árabes, chinas, indias y europeas) siguiendo diferentes caminos, y muchas afirmaciones de "¡a nosotros se nos ocurrió primero!", pero el orden general de descubrimiento que discutí aquí da una buena idea de ello.
Preguntas
Creo que es sorprendente cuántas veces una pregunta, como- "¿Qué pasa si contamos hacia atrás hasta cero", o
- "¿Cuál es la distancia exacta en la diagonal del cuadrado?"
Me pregunto qué preguntas interesantes se están haciendo hoy en día.
¡Sigues tú!
Aquí hay dos preguntas que puedes hacerte cuando aprendes algo nuevo:
¿Puede funcionar en sentido contrario?
- Los números positivos conducen a números negativos
- Los cuadrados conducen a raíces cuadradas
- etc.
¿Puedo usar esto con algo más que sepa?
- Si las fracciones son números, ¿se pueden sumar, restar, etc.?
- ¿Puedo sacar la raíz cuadrada de un número complejo? (¿Puedes?)
- etc.
¡Y un día tus preguntas pueden conducir a un nuevo descubrimiento!
¡Refuerza tu aprendizaje resolviendo los siguientes retos sobre este tema! (Nota: están en inglés).
