Hipercubos
En geometría podemos tener diferentes dimensiones.
La idea general de un cubo en cualquier dimensión se llama hipercubo, o n-cubo.
Un 0-cubo es un punto, un 1-cubo es una línea,
un 2-cubo es un cuadrado, un 3-cubo es un cubo, etc.
Puntos, Líneas, Superficies, ...
El binomio mágico x+2 nos puede decir cuántos puntos, líneas, superficies, etc., hay en cada dimensión:
(x+2)0 = 1
Para cero dimensiones tenemos 1 punto
(x+2)1 = x + 2
Tenemos x (una línea de longitud "x") y 2 puntos
(x+2)2 = (x+2)(x+2) = x2 + 4x + 4
Tenemos x2 (representando el área), 4 líneas de longitud x, y 4 puntos.
(x+2)3 = (x+2)(x2 + 4x + 4) = x3 + 6x2 + 12x + 8
Tenemos un x3 (el volumen), 6 superficies, 12 líneas y 8 puntos.
Verifícalo por ti mismo... ¿cuántas caras tiene un cubo? ¿Cuántas líneas, cuántos puntos?
Pero podemos ir más allá... ¡hacia dimensiones superiores!
Un Teseracto es la versión en 4D de un cubo: un 4-cubo.
(x+2)4 = (x+2)(x3 + 6x2 + 12x + 8) = x4 + 8x3 + 24x2 + 32x + 16
Así que un 4-cubo tiene:
- 1 espacio en 4D
- 8 cubos
- 24 superficies
- 32 líneas
- 16 puntos
Podemos tener problemas para imaginar cómo se ve, ¡pero podemos conocer sus propiedades!
¿Cómo funciona esto?
¡Es pura magia, por supuesto!
Y también: x+2 describe una línea con dos puntos.
¿Tal vez si lo generalizamos más ayudaría?
Más General
Dejemos de lado los cubos puros y permitamos diferentes tamaños:
(x+2)1 = x + 2
Tenemos una línea de longitud "x" y 2 puntos
(x+2)(y+2) = xy + 2x + 2y + 4
Tenemos un rectángulo de área xy, con 2 líneas de x, 2 líneas de y y 4 puntos
(x+2)(y+2)(z+2) = xyz + 2xy + 2yz + 2xz + 4x + 4y + 4z + 8
Tenemos un paralelepípedo con volumen xyz, 2 superficies de cada xy, yz y xz, 4 líneas de cada x, y y z, y 8 puntos.
Te dejaré a ti que descubras la siguiente dimensión.
