Operaciones con funciones
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¡Podemos sumar, restar, multiplicar y dividir funciones! El resultado es una nueva función. |
Intentemos hacer esas operaciones en f(x) y g(x):
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Suma |
Podemos sumar dos funciones:
(f+g)(x) = f(x) + g(x)
Nota: ponemos f+g dentro de () para mostrar que ambas están en términos de x.
Ejemplo: f(x) = 2x+3 y g(x) = x2
(f+g)(x) = (2x+3) + (x2) = x2+2x+3
A veces puede que necesitemos combinar términos similares:
Ejemplo: v(x) = 5x+1, w(x) = 3x-2
(v+w)(x) = (5x+1) + (3x-2) = 8x-1
La única otra cosa de la que preocuparse es el dominio (el conjunto de números que entran en la función), ¡pero hablaré de eso más adelante!
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Resta |
También podemos restar dos funciones:
(f-g)(x) = f(x) − g(x)
Ejemplo: f(x) = 2x+3 y g(x) = x2
(f−g)(x) = (2x+3) − (x2)
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Multiplicación |
Podemos multiplicar dos funciones:
(f·g)(x) = f(x) · g(x)
Ejemplo: f(x) = 2x+3 y g(x) = x2
(f·g)(x) = (2x+3)(x2) = 2x3 + 3x2
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División |
Y podemos dividir dos funciones:
(f/g)(x) = f(x) / g(x)
Ejemplo: f(x) = 2x+3 y g(x) = x2
(f/g)(x) = (2x+3)/x2
Composición de funciones
| Hay otra operación especial llamada composición
de funciones, ¡lee esa página para obtener más información! |
(g º f)(x) |
Dominios
Hasta ahora ha sido muy fácil, pero ahora debemos considerar los dominios de las funciones.
La función debe ser válida para todos los valores que le damos, por lo que depende de nosotros asegurarnos de obtener el dominio correcto.
Ejemplo: el dominio de √x (la raíz cuadrada de x)
No podemos tener la raíz cuadrada de un número negativo (a menos que usemos números imaginarios, pero no lo estamos haciendo aquí), por lo que debemos excluir los números negativos:
El dominio de √x son todos números reales no negativos
En la recta numérica se ve así:
Usando notación de conjuntos queda escrito así:
{ x
| x ≥ 0}
"el conjunto de todas las x que son miembros de los
números reales,
tal que x sea mayor o igual a cero"
O usando notación de intervalos tenemos:
[0,+∞)
Entonces, ¿cómo calculamos el nuevo dominio después de realizar una operación?
Cómo trabajar con el nuevo dominio
Cuando hacemos operaciones en funciones, terminamos con las restricciones de ambas.
- uno no puede comer cacahuetes,
- el otro no puede comer productos lácteos.
Entonces, lo que cocinamos no puede tener maní y tampoco productos lácteos.
Ejemplo: f(x)=√x y g(x)=√(3−x)
El dominio de f(x)=√x es de 0 en adelante:
El dominio de g(x)=√(3−x) es hasta e incluyendo 3:
Entonces, el nuevo dominio (después de sumar o lo que sea) es de 0 a 3:
Si elegimos cualquier otro valor, entonces una u otra parte de la nueva función no funcionará.
En otras palabras, queremos encontrar dónde se cruzan los dos dominios.
Nota: podemos poner toda esta idea en una línea usando notación de conjuntos:
Dom(f+g) = { x | xDom(f)
y xDom(g) }
La misma regla se aplica cuando sumamos, restamos, multiplicamos o dividimos, excepto que dividir tiene una regla adicional.
Una regla adicional para la división
Hay una regla adicional para la división:
Además de restringir el dominio como arriba, cuando dividimos:
(f/g)(x) = f(x) / g(x)
También debemos asegurarnos de que g (x) no sea igual a cero (porque no podemos dividir entre cero).
Aquí hay un ejemplo:
Ejemplo: f(x)=√x y g(x)=√(3−x)
(f/g)(x) = √x / √(3−x)
1. El dominio de f(x)=√x es de 0 en adelante:
2. El dominio de g(x)=√(3−x) es hasta e incluyendo 3:
3. Y √(3−x) no puede ser cero, entonces x no puede ser 3:
(Observa el círculo abierto en 3, lo que significa
que no incluye al 3)
Así que todo juntos terminamos con:
Resumen
- Para sumar, restar, multiplicar o dividir funciones simplemente haz lo que dice la operación.
- El dominio de la nueva función tendrá las restricciones de ambas funciones que lo hicieron.
- Dividir tiene la regla adicional de que la función por la que estamos dividiendo no puede ser cero.
¡Refuerza tu aprendizaje resolviendo los siguientes retos sobre este tema! (Nota: están en inglés).
