Raíces n-ésimas
La "raíz n-ésima" de un valor dado, cuando se multiplica n veces da el valor inicial
" n-ésima "
1ª, 2ª, 3ª, 10ª (décima), 20ª (vigésima), ... n-ésima ...
En vez de hablar de la "4ª (cuarta)", "16ª (decimosexta)", etc. , si queremos hablar en general decimos la "n-ésima".
La raíz n-ésima
- La "2da" raíz es la raíz cuadrada
- La "3ra" raíz es la raíz cúbica
- etc!
| 2 |  |
Así como la raíz cuadrada es lo que se multiplica dos veces para tener el valor original... | ||
| 3 |  |
... y la raíz cúbica es lo que se multiplica tres veces para tener el valor original... | ||
| ... | ... |
...
|
||
| n |  |
... la raíz n-ésima es lo que se multiplica n veces para tener el valor original |
Así que es la manera general de
hablar de raíces
(podría ser la segunda, novena, 324ª o cualquier otra)
El símbolo de la raíz n-ésima
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Este es el símbolo especial que significa "raíz n-ésima", es el símbolo "radical" (el de las raíces cuadradas) con una n pequeña para indicar la raíz n-ésima. |
Uso
Se podría usar la raíz n-ésima en una pregunta así:
Pregunta: ¿Cuánto vale "n" en esta ecuación?
Respuesta: Simplemente sé que 625 = 54, por lo que la 4ta raíz de 625 debe ser 5:
O podríamos usar "n" porque queremos hablar de algo en general:
Ejemplo: Si n es impar entonces 
(hablaremos de esto más adelante).
¿Por qué "raíz"... ?
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Cuando cuando veas "raíz" piensa "conozco el árbol, pero ¿cuál es la raíz que lo produce?" En el caso de √9 = 3 el árbol es "9", y la raíz es 3. |
Propiedades
Ahora que sabemos lo que es una raíz n-ésima, veamos algunas propiedades:
Multiplicación y división
Puedes "separar" así multiplicaciones dentro de la raíz:
(Si n es par y suponemos que a y b son ≥ 0)
Esto te ayudará a simplificar ecuaciones en álgebra, y también algunos cálculos:
Ejemplo: 
También funciona con la división:
(a≥0 y b>0)
(b no puede ser cero porque no se puede dividir entre cero)
Ejemplo:
Suma y restas
¡Pero no se puede hacer lo mismo con sumas y restas!
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Ejemplo: Teorema de Pitágoras dice:
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a2 + b2 = c2 |
Entonces podemos calcular c así:
c = √(a2 + b2)
Que no es lo mismo que c = a + b, ¿verdad?
Es fácil caer en la trampa, así que ten cuidado. También quiere decir que desgraciadamente las sumas y restas son más difíciles cuando están dentro de una raíz.
Exponentes y raíces
Un exponente a un lado del "=" se convierte en una raíz cuando se pasa al otro lado del "=":
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Si  entonces 
(b ≥ 0) |
Ejemplo: 
Raíz n-ésima de una potencia n-ésima
Cuando un valor tiene un exponente n y calculas su raíz n-ésima, recuperas el valor del principio:
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... cuando a es positivo (o cero): |
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(cuando a ≥ 0) |
Ejemplo: 
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... o cuando el exponente es impar: |
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(cuando n es impar) |
Ejemplo:
... pero cuando a es negativo y el exponente es par tenemos esto:
¿Viste que −3 se convirtió en +3?
| ... por lo que tenemos: | |
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(cuando a < 0 y n es par) |
(Nota: |a| representa el valor absoluto de a, en otras palabras, cualquier negativo se convierte en positivo)
Ejemplo:
¡Así que eso es algo de lo que hay que tener cuidado! Lee más en Exponentes de números negativos.
Aquí está todo en una tabla:
| n es impar | n es par | |
|---|---|---|
| a ≥ 0 | |
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| a < 0 | |
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Raíz n-ésima de una potencia m-ésima
Ahora vemos qué pasa cuando el exponente y la raíz tienen valores diferentes (m y n).
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Ejemplo:
Así que... puedes poner el exponente "dentro" de la raíz n-ésima, cosa que a veces es útil.
Pero hay otro método todavía más poderoso... puedes combinar el exponente y la raíz para hacer un nuevo exponente, así:
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Ejemplo: |
Es porque la raíz n-ésima es lo mismo que el exponente (1/n):
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Ejemplo: 2½ = √2 (la raíz cuadrada de 2) |
¡Quizás quieras leer ahora sobre exponentes fraccionarios para entender por qué!
¡Refuerza tu aprendizaje resolviendo los siguientes retos sobre este tema! (Nota: están en inglés).
