La Segunda Derivada
(¡Lee primeramente sobre derivadas si aún no sabes qué son!)
Una derivada básicamente le da la pendiente de una función en
cualquier punto.
La "segunda derivada" es la derivada de la derivada de una
función. Entonces:
- Encuentra la derivada de una función
- Luego toma la derivada de eso
Una derivada a menudo se muestra con una pequeña marca o apóstrofo: f'(x)
La segunda derivada se muestra con dos apóstrofos, así: f''(x)
Ejemplo: f(x) = x3
- Su derivada es f'(x) = 3x2
- La derivada de 3x2 es 6x, entonces la segunda derivada de f(x) es:
f''(x) = 6x
Una derivada también se puede escribir como dydx , y la segunda derivada como d2ydx2
Ejemplo: (continuación)
El ejemplo anterior podría escribirse así:
y = x3
dydx = 3x2
d2ydx2 = 6x
Distancia, rapidez y aceleración
Un ejemplo común de esto en el mundo real es la distancia, la rapidez y la aceleración:
Ejemplo: ¡Una carrera en bicicleta!
Estás participando en una carrera de bicicletas, avanzando a una rapidez constante de 10 m por segundo.
Distancia: es lo lejos que has avanzado en tu camino. Es
común usar la d para la distancia o la s
(del latín "Spatium").
Entonces usemos:
- distancia (en metros): s
- tiempo (en segundos): t
Rapidez: es cuánto cambia tu distancia s con el tiempo t ...
...y en realidad es la primera derivada de la distancia con respecto al tiempo: dsdt
Y sabemos que estás yendo a 10 m por segundo, así que dsdt = 10 m/s
Aceleración: ¡Ahora empiezas a pedalear más rápido! Aumentas tu rapidez a 14 m cada segundo durante los próximos 2 segundos.
Cuando estás acelerando, tu rapidez cambia con el tiempo.
¡Por lo quedsdt cambia con el tiempo!
| Lo podríamos escribir así: |
|
||
| dt |
Pero suele estar escrito como d2s dt2
Tu rapidez aumenta en 4 m/s durante 2 segundos, por lo que d2s dt2 = 42 = 2 m/s2
Tu rapidez cambia 2 metros por segundo por segundo.
Y sí, ¡"por segundo" se usa dos veces!
Se puede pensar en (m/s)/s pero generalmente se escribe m/s2
(Nota: en el mundo real, tu rapidez y aceleración cambian de un momento a otro, pero aquí asumimos que puedes mantener una rapidez constante o una aceleración constante).
Entonces:
| Medidas de Ejemplo |
||
| Distancia: | s | 100 m |
| La primera derivada es la Rapidez: | ds dt | 10 m/s |
| La segunda derivada es la Aceleración: | d2s dt2 | 2 m/s2 |
La tercera derivada de la posición con respecto al tiempo
(cómo cambia la aceleración con el tiempo). A veces se le llama
sobreaceleración, "tirón" o "jerk".
De hecho, podemos sentir esta sobreaceleración cuando empezamos a
acelerar, a aplicar los frenos o al doblar las esquinas mientras
nuestro cuerpo se adapta a las nuevas fuerzas.
Los ingenieros intentan reducir esta sobreaceleración al diseñar
ascensores, vías de tren, etc.
También:
- La cuarta derivada de la posición con respecto al tiempo se llama "chasquido" o "jounce"
- La quinta no tiene una traducción al español pero a veces se le llama por su nombre en inglés "crackle"
- La sexta tampoco tiene una traducción al español pero al igual que a la quinta, a veces se le llama por su nombre en inglés "pop"
¡En serio!
Van así: distancia, rapidez, aceleración, tirón, chasquido, crackle y pop
Aprende jugando
Aquí puedes ver la derivada f'(x) y la segunda derivada f''(x) de algunas funciones comunes.Observa cómo la pendiente de cada función es el valor-y de la derivada graficada debajo de ella.
Por ejemplo, muévete a donde la pendiente de la función sin(x) se aplana (pendiente=0), luego verifica que la gráfica de la derivada está en cero. Algo similar ocurre entre f'(x) y f''(x). Prueba esto en diferentes puntos y otras funciones.
¡Refuerza tu aprendizaje resolviendo los siguientes retos sobre este tema! (Nota: están en inglés).
