La Regla del Producto
La Derivada nos dice la pendiente de una función en cualquier punto.
La Regla del Producto
La regla del producto nos dice cómo derivar el producto de dos funciones:
(fg)’ = fg’ + gf’
Nota: el apóstrofo ’ significa "Derivada de", y f y g son funciones.
Ejemplo: ¿Cuál es la derivada de cos(x)sin(x) ?
La Regla del Producto dice:
(fg)’ = f g’ + f’ g
En nuestro caso:
- f = cos
- g = sin
Sabemos (por las Reglas de Derivación):
cos(x) = −sin(x)- sin(x) = cos(x)
Así que:
la derivada de cos(x)sin(x) = cos(x)cos(x) −
sin(x)sin(x)
= cos2(x) − sin2(x)
¿Por qué funciona?
Cuando multiplicamos dos funciones f(x) y g(x) el resultado es el área fg:
Cuando aumentamos x en una pequeña cantidad, tanto f como g también
cambiarán un poco (dichos cambios son Δf y Δg). En este caso ambas
aumentan haciendo el área más grande.
¿Cuánto más grande?
Incremento en el área = fΔg + ΔfΔg + gΔf
A medida que el cambio en x se dirige hacia cero, el término "ΔfΔg" también se dirige a cero, y obtenemos:
(fg)’ = fg’ + gf’
Notación Alternativa
Una forma alternativa de escribirla (llamada notación de Leibniz) es:
ddx(uv) = dudxv + udvdx
Tres Funciones
Para tres funciones multiplicadas juntas hacemos esto:
(fgh)’ = f’gh + fg’h + fgh’
