Derivadas dy/dx
Las derivadas tienen que ver con el cambio ...
... muestran qué tan rápido está cambiando algo (a esto se le llama tasa
de cambio) en cualquier momento.
En Introducción a las Derivadas
(¡por favor, lee eso primero!) vimos cómo hacer una derivada
usando diferencias y límites.
Aquí buscamos hacer lo mismo pero usando la notación "dy/dx" (también
llamada notación de Leibniz) en lugar de límites.
Empezamos dándole nombre a la función "y":
y = f(x)
1. Sumamos Δx
Cuando x aumenta en Δx, entonces y aumenta en Δy:
y + Δy = f(x + Δx)
2. Restamos ambas fórmulas
| De: | y + Δy = f(x + Δx) | |
| Restamos: | y = f(x) | |
| Para obtener: | y + Δy − y = f(x + Δx) − f(x) | |
| Simplifica: | Δy = f(x + Δx) − f(x) |
3. Rapidez de cambio
Para calcular qué tan rápido crece (i.e., la tasa de cambio) dividimos entre Δx:
ΔyΔx = f(x + Δx) − f(x)Δx
4. Reducimos Δx hacia 0
No podemos dejar que Δx se convierta en 0 (porque eso sería dividir entre 0), pero podemos hacer que se dirija hacia cero y llamarlo "dx":
Δx 
dx
Asimismo, Δy se vuelve muy pequeño y lo llamamos "dy", para tener finalmente:
dy dx = f(x + dx) − f(x) dx
Probemos con una función
Veamos qué tal con f(x) = x2
| dy dx | = f(x + dx) − f(x) dx | ||
| = (x + dx)2 − x2 dx | f(x) = x2 | ||
| = x2 + 2x(dx) + (dx)2 − x2 dx | Desarrollamos (x+dx)2 | ||
| = 2x(dx) + (dx)2 dx | x2−x2=0 | ||
| = 2x + dx | Simplificamos la fracción | ||
| = 2x | dx se aproxima a 0 |
Así que la derivada de x2 es 2x
¿Qué tal si pruebas con f(x) = x3 ?
| dy dx | = f(x + dx) − f(x) dx | ||
| = (x + dx)3 − x3 dx | f(x) = x3 | ||
| = x3 + ... (¡tu turno!) dx | Desarrolla (x+dx)3 |
¿Qué derivada obtienes?
