Matriz Inversa usando Operaciones Elementales entre Filas
También se llama método Gauss-Jordan.
Esta es una forma divertida de encontrar la inversa de una matriz:
Las "Operaciones Elementales de Fila" son cosas simples como sumar filas, multiplicar e intercambiar ... pero veamos con un ejemplo:
Ejemplo: encuentra la inversa de "A":
Empezamos con la matriz A, y la escribimos con una Matriz Identidad I justo al lado:
(Esto se llama la "matriz aumentada")
Matriz identidad
La "Matriz de identidad" es el equivalente matricial del número "1":
Una matriz identidad de 3x3
- Es "cuadrada" (tiene el mismo número de filas que columnas),
- Tiene 1s en su diagonal y 0s en todos las demás entradas.
- Su símbolo es la letra mayúscula I.
Ahora hacemos todo lo posible para convertir "A" (la matriz de la
izquierda) en una matriz identidad. El objetivo es hacer que la Matriz A
tenga 1s en diagonal y 0s en cualquier otra parte (una Matriz Identidad)
... y el lado derecho nos acompaña para el viaje, realizando también de
este lado todas las operaciones.
Pero solo podemos hacer estas "Operaciones Elementales de Fila":
- intercambiar filas
- multiplicar o dividir cada elemento en una fila por una constante
- reemplazar una fila sumando o restando un múltiplo de otra fila
Y debemos hacerlo a toda la fila, así:
Empieza con A y al lado I
Suma la fila 2 y la fila 1,
luego divide la fila 1 por 5,
Luego toma 2 veces la primera fila y reste de la segunda fila,
Multiplica la segunda fila por -1/2,
Ahora intercambia la segunda y tercera fila,
Por último, resta la tercera fila de la segunda fila,
¡Y hemos terminado!
La matriz A se ha convertido en
una Matriz Identidad ...
... y al mismo tiempo una Matriz Identidad se convirtió en A-1
¡HECHO! Como magia, y tan divertido como resolver cualquier rompecabezas.
Y ten en cuenta: no hay una "forma correcta" de hacer esto, ¡solo sigue jugando hasta que tengas éxito!
(Compara esta respuesta con la que se obtuvo en Inversa de una Matriz usando Menores, Cofactores y la Adjunta. ¿Es la misma? ¿Qué método prefieres?)
Matrices más grandes
Podemos hacer esto con matrices más grandes, por ejemplo, prueba esta matriz 4x4:
Inicia así:
Puedes verificar tu respuesta usando la Calculadora de Matrices (usa el botón "inv(A)").
Por qué funciona
Me gusta pensar de esta manera:
- cuando convertimos "8" en "1" dividiendo por 8,
- y hacemos lo mismo con "1", se convierte en "1/8"
Y "1/8" es el inverso (multiplicativo) de 8
O, más técnicamente:
El efecto total de todas las operaciones de fila es el mismo que multiplicar por A-1
Por lo que A se convierte en I (porque A-1A = I)
E I se convierte en A-1
(porque A-1I = A-1)
¡Intenta resolver las siguientes preguntas sobre este tema! (Nota: están en inglés).
