Expresiones racionales
Estas expresiones son el cociente de dos polinomios:
Es como una fracción, pero con polinomios.
Otros ejemplos:
| x3 + 2x − 16x2 | 2x + 9x4 − x2 |
También
| 12 − x2 | El polinomio de arriba es "1", lo cual está bien. |
| 2x2 + 3 | ¡Sí es expresión racional! Recuerda que puede escribirse como: 2x2 + 31 |
Pero no
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2 − √(x)4 − x | el numerador no es un polinomio (no se permite la raíz cuadrada de una variable) |
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1/x no se permite en un polinomio |
En general
Una función racional es el cociente de dos polinomios P(x) y Q(x) así
f(x) = P(x)Q(x)
Excepto que Q(x) no puede ser cero (y cualquier valor de x tal que Q(x)=0 no está definido).
Encontrando las raíces de expresiones racionales
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Una "raíz" (o "cero") es cuando la expresión es igual a
cero: |
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Para encontrar las raíces de una expresión racional
solo necesitamos encontrar las raíces del polinomio en el
numerador, siempre que la expresión racional esté en su
"mínima expresión".
Entonces, ¿qué significa "mínima expresión"?
Mínima expresión
Bueno, una fracción está en su mínima expresión cuando la parte de arriba y la de abajo no tienen factores en común.
Ejemplo: Fracciones
2 6
no está en su mínima expresión,
puesto que 2 y 6 tienen al "2" como factor común.
Pero:
1 3 sí está en su mínima expresión,
puesto que 1 y 3 no tienen factores en común.
Del mismo modo, una expresión racional está en su mínima expresión cuando la parte de arriba y la de abajo no tienen factores en común.
Ejemplo: Expresiones racionales
x3+3x22x
no está en su mínima expresión,
dado que x3+3x2 y 2x tienen "x" como factor común.
x2+3x2
sí está en su mínima expresión,
ya que x2+3x y 2
no tienen factores en común.
Luego, para hallar las raíces de una expresión racional:
- Reduce (simplifica) la expresión racional a su mínima expresión.
- Después encuentra las raíces del polinomio de arriba.
¿Cómo encontramos las raíces? Lee resolver polinomios para saber cómo.
Propia vs Impropia
| Las fracciones pueden ser propias o impropias: |
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| (No hay nada de malo con las "impropias", solo son otro tipo de fracciones). |
Y de la misma manera:
¡Una expresión racional también puede ser propia o impropia!
¿Pero qué hace que un polinomio sea grande o pequeño?
¡El grado!
Para los polinomios de una variable, el Grado es el exponente más grande de la variable.
Ejemplos de grado:
| 4x | El grado es 1 (una variable sin el exponente escrito en realidad tiene exponente 1) | |
| 4x3 − x + 3 | El grado es 3 (es el mayor exponente de x) |
Así que ésta es la manera de saber si la expresión racional es propia o impropia:
Propia: el grado de la parte superior es menor que el grado de la parte inferior.
| Propia: | 1x + 1 | grado(arriba) < grado(abajo) |
otro ejemplo: xx3 − 1
Impropia: El grado de la parte superior es mayor o igual que el grado de la parte inferior.
| Impropia: | x2 − 1x + 1 | grado(arriba) ≥ grado(abajo) |
otro ejemplo: 4x3 − 35x3 + 1
Si un polinomio es impropio, podemos simplificarlo mediante la división larga de polinomios
Asíntotas
Las expresiones racionales pueden tener asíntotas (una línea a la que la curva se aproxima hacia el infinito):
Ejemplo: (x2-3x)/(2x-2)
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La gráfica de (x2-3x)/(2x-2) tiene:
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Una expresión racional puede tener:
- cualquier número de asíntotas verticales,
- cero o una asíntotas horizontales
- cero o una asíntotas oblicuas (inclinadas)
Encontrando las asíntotas horizontales y oblicuas
Es bastante fácil encontrarlas ...
... pero depende del grado de los polinomios superior e inferior.
El que tenga el mayor grado crecerá más rápido.
Es similar a las fracciones "propias" e "impropias", pero de hecho hay cuatro casos posibles, que se muestran a continuación.
(Se muestra un valor de prueba x=1000 para cada caso, solo
para mostrar lo que ocurre)
Veamos cada uno de esos ejemplos a su vez:
Grado del polinomio de arriba menor que el de abajo
El polinomio inferior dominará, y hay una asíntota horizontal en cero.
Ejemplo: f(x) = (3x+1)/(4x2+1)
Cuando x es 1000:
f(1000) = 3001/4000001 = 0.00075...
Y a medida que x se hace más grande, f(x) se acerca a 0
Grado del polinomio de arriba igual al grado del de abajo
Ninguno de los dos domina ... la asíntota está establecida por los coeficientes principales de cada polinomio.
Ejemplo: f(x) = (3x+1)/(4x+1)
Cuando x es 1000:
f(1000) = 3001/4001 = 0.750...
Y a medida que x se hace más grande, f(x) se acerca a 3/4
¿Por qué 3/4? Porque "3" y "4" son los "coeficientes principales" de cada polinomio.
Los términos están en orden de mayor a menor exponente
(Técnicamente, el 7 es una constante, pero aquí es más fácil pensar en
todos ellos como coeficientes).
El método es fácil:
Divide el coeficiente principal del polinomio superior por el coeficiente principal del polinomio inferior.
Aquí hay otro ejemplo:
Ejemplo: f(x) = (8x3 + 2x2 - 5x + 1)/(2x3 + 15x + 2)
Los grados son iguales (ambos tienen un grado de 3).
Solo mira los coeficientes principales de cada polinomio:
- El de arriba es 8 (de 8x3)
- El de abajo es 2 (de 2x3)
Entonces hay una asíntota horizontal en 8/2 = 4
El grado de arriba es 1 más que el de abajo
Este es un caso especial: hay una asíntota oblicua, y necesitamos encontrar la ecuación de la línea.
Para ello usa la división larga de polinomios: divide la parte superior por la parte inferior para encontrar el cociente (ignora el residuo).
Ejemplo: f(x) = (3x2+1)/(4x+1)
El
grado de la parte superior es 2, y el grado de la parte inferior
es 1, por lo que habrá una asíntota oblicua
Necesitamos dividir
3x2+1 por 4x+1 usando la división larga
de polinomios:
La respuesta es (3/4)x-(3/16) (ignorando el residuo):
La ecuación de la línea de asíntota es: (3/4)x-(3/16)
Grado del polinomio de arriba es más de 1 grado más alto que el de abajo.
Cuando el polinomio superior es más de 1 grado más alto que el polinomio inferior, no hay asíntota horizontal ni oblicua.
Ejemplo: f(x) = (3x3+1)/(4x+1)
El grado de la parte superior es 3, y el grado de la parte inferior
es 1.
La parte superior es más de 1 grado más alta que la parte inferior,
por lo que no hay asíntota horizontal ni oblicua.
Encontrando asíntotas verticales
Hay otro tipo de asíntota, que es causada solo por el polinomio inferior.
Pero primero: ¡asegúrate que la expresión racional está en su mínima expresión!
Siempre que el polinomio inferior sea igual a cero (en cualquiera de sus raíces) obtenemos una asíntota vertical.
Lee Resolver Polinomios para saber cómo encontrar las raíces.
De nuestro ejemplo de arriba:
Ejemplo: (x2-3x)/(2x-2)
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El polinomio de arriba es 2x-2, el cual se puede factorizar: 2(x-1) Y el factor (x-1) indica que hay una asíntota vertical en x=1 (porque 1-1=0) |
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Un ejemplo detallado
Ejemplo: Grafica (x−1)/(x2−9)
En primer lugar, podemos factorizar el polinomio inferior (es la diferencia de dos cuadrados):
x−1(x+3)(x−3)
Ahora podemos ver:
Las raíz del polinomio superior es: +1 (aquí es donde cruza
el eje x)
Las raíces del polinomio inferior son: −3 y +3 (son asíntotas
verticales)
Cruza el eje y cuando x = 0, así que establezcamos x en 0:
Cruza el eje-Y en: 0−1(0+3)(0−3) = −1−9 = 19
También sabemos que el grado de la parte superior es menor que el
grado de la parte inferior, por lo que hay una asíntota
horizontal en 0
Entonces podemos dibujar toda esa información:
Y ahora podemos graficar la curva:
(Compárala con la gráfica de (x-1)/(x2-9))
¡Intenta resolver las siguientes preguntas sobre este tema! (Nota: están en inglés).
