Resolviendo Ecuaciones con Radicales

Cómo resolver ecuaciones con raíces cuadradas, raíces cúbicas, etc.

Ecuaciones con Radicales

Una ecuación radical es una ecuación con una raíz cuadrada o raíz cúbica, etc.

Resolviendo Ecuaciones Radicales

Podemos deshacernos de una raíz cuadrada elevando al cuadrado. (O de las raíces cúbicas elevando al cubo, etc.)

Pero advertencia: esto a veces puede crear "soluciones" que en realidad no funcionan cuando las colocamos en la ecuación original. ¡Entonces tenemos que verificar!

Sigue estos pasos:

aislar la raíz cuadrada en un lado de la ecuación
elevar al cuadrado ambos lados de la ecuación

¡Entonces continúa con nuestra solución!

Ejemplo: resuelve √(2x+9) − 5 = 0

aislar la raíz cuadrada:√(2x+9) = 5

elevar al cuadrado ambos lados:2x+9 = 25

¡Ahora debería ser más fácil de resolver!

pasa el 9 a la derecha: 2x = 25 − 9 = 16

divide entre 2:x = 16/2 = 8

respuesta:x = 8

Comprobación: √(2·8+9) − 5 = √(25) − 5 = 5 − 5 = 0

Ése funcionó perfectamente.

Más de una raíz cuadrada

¿Qué pasa si hay dos o más raíces cuadradas? ¡Fácil! Simplemente repite el proceso para cada una.

Tomará más tiempo (muchos más pasos) ... pero nada demasiado difícil.

Ejemplo: resuelve √(2x−5) − √(x−1) = 1

aísla una de las raíces:√(2x−5) = 1 + √(x−1)

eleva al cuadrado ambos lados:2x−5 = (1 + √(x−1))²

Hemos eliminado una raíz cuadrada.

desarrolla el lado derecho:2x−5 = 1 + 2√(x−1) + (x−1)

simplifica:2x−5 = 2√(x−1) + x

resta x de ambos lados:x−5 = 2√(x−1)

Ahora haz lo de la "raíz cuadrada" nuevamente:

aísla la raíz:√(x−1) = (x−5)/2

eleva al cuadrado ambos lados:x−1 = ((x−5)/2)²

Ahora hemos eliminado con éxito ambas raíces cuadradas.

Continuemos con la solución.

Desarrolla el lado derecho:x−1 = (x² − 10x + 25)/4

¡Es una ecuación cuadrática! Así que pongámoslo en forma estándar.

Multiplica por 4 para quitar la división:4x−4 = x² − 10x + 25

Pasa todo al lado izquierdo:4x − 4 − x² + 10x − 25 = 0

Combina términos similares:−x² + 14x − 29 = 0

Invierte todos los signos:x² − 14x + 29 = 0

Usando la Fórmula Cuadrática (a=1, b=−14, c=29) da las soluciones:

2.53 y 11.47 (a 2 decimales)

Veamos las soluciones:

2.53: √(2×2.53−5) − √(2.53−1) ≈ −1¡Uy! Debería ser +1.

11.47: √(2×11.47−5) − √(11.47−1) ≈ 1 Sí, es correcta.

Realmente solo hay una solución:

Respuesta: 11.47 (a 2 decimales)

¿Ves? ¡Este método a veces puede producir soluciones que realmente no funcionan!

La raíz que parecía funcionar, pero no estaba bien cuando la verificamos, se llama "Raíz Extraña (o Espuria)"

Entonces: la comprobación es importante.

¡Intenta resolver las siguientes preguntas sobre este tema! (Nota: están en inglés).

8079,8080,8081,8082,575,1218,1216,576,8060,8061