Problemas Verbales de Desigualdades

(Tal vez quieras leer primero Introducción a las Desigualdades y Resolviendo Desigualdades)


En Álgebra tenemos preguntas de "desigualdad" como:

equipos de fútbol

Sam y Alex juegan en el mismo equipo de fútbol.
El sábado pasado, Alex anotó 3 goles más que Sam, pero juntos anotaron menos de 9 goles.

¿Cuál es el número posible de goles que marcó Alex?

¿Cómo los resolvemos?

El truco es dividir la solución en dos partes:

Convierte el español en álgebra.

Luego usa el álgebra para resolver.

Convertir el español en álgebra

Para convertir el español en álgebra, nos ayuda:

¡También deberíamos escribir lo que realmente se está pidiendo, para saber a dónde vamos y cuándo hemos llegado!
 
La mejor manera de aprender esto es con un ejemplo, así que probemos nuestro primer ejemplo:

equipos de fútbol

Sam y Alex juegan en el mismo equipo de fútbol.
El sábado pasado, Alex anotó 3 goles más que Sam, pero juntos anotaron menos de 9 goles.

¿Cuál es el número posible de goles que marcó Alex?

 

Asignar letras:

  • la cantidad de goles que Alex anotó: A
  • el número de goles que Sam marcó: S


Sabemos que Alex anotó 3 goles más que Sam, así que: A = S + 3

Y sabemos que juntos marcaron menos de 9 goles: S + A < 9

Se nos pregunta cuántos goles pudo haber marcado Alex: A

 

Resolver:

Empieza con:S + A < 9
A = S + 3, luego:S + (S + 3) < 9
Simplifica:2S + 3 < 9
Resta 3 de ambos lados:2S < 9 − 3
Simplifica:2S < 6
Divide ambos lados por 2:S < 3

Sam anotó menos de 3 goles, lo que significa que Sam pudo haber marcado 0, 1 ó 2 goles.

Alex anotó 3 goles más que Sam, por lo que Alex podría haber marcado 3, 4 ó 5 goles.

 

Comprobación:
  • Cuando S = 0, se tiene que A = 3 y S + A = 3, y 3 < 9 es correcto
  • Cuando S = 1, se tiene que A = 4 y S + A = 5, y 5 < 9 es correcto
  • Cuando S = 2, se tiene que A = 5 y S + A = 7, y 7 < 9 es correcto
  • (Pero cuando S = 3, se tiene que A = 6 y S + A = 9, pero 9 < 9 es incorrecto)

¡Muchos más ejemplos!

perritos

Ejemplo: De 8 cachorros, hay más hembras que machos.

¿Cuántas cachorritas podría haber?

Asignar letras:
  • la cantidad de hembras: h
  • el número de machos: m
Sabemos que hay 8 cachorros, entonces: h + m = 8, que se pueden reorganizar a
m = 8 − h

También sabemos que hay más hembras que machos, así que:

h > m

Nos preguntan la cantidad de cachorritas: h

Resuelve:

Empieza con:h > m
m = 8 − h, luego:h > 8 − h
Suma h de ambos lados:h + h > 8
Simplifica:2h > 8
Divide ambos lados por 2:h > 4

Entonces podría haber 5, 6, 7 u 8 cachorritas.

¿Podría haber 8 cachorritas? Entonces no habría machos en absoluto, y la pregunta no está clara en ese punto (a veces las preguntas son así).

Chequeo:
  • Cuando h = 8, entonces m = 0 y h > m es correcto (pero, ¿m = 0 está permitido?)
  • Cuando h = 7, entonces m = 1 y h > m es correcto
  • Cuando h = 6, entonces m = 2 y h > m es correcto
  • Cuando h = 5, entonces m = 3 y h > m es correcto
  • (Pero si h = 4, entonces m = 4 y h > m es incorrecto)

Un ejemplo rápido:

bicicleta

Ejemplo: Joel entra en una carrera donde tiene que andar en bicicleta y correr.

Pedalea una distancia de 25 km, y luego corre durante 20 km. Su rapidez de carrera promedio es la mitad de su rapidez de ciclismo promedio.

Joel completa la carrera en menos de 2½ horas, ¿qué podemos decir sobre sus rapideces promedio?

Asignar letras:
  • Rapidez media de carrera: c
  • Rapidez media de ciclismo: 2c

Fórmulas:

  • Rapidez = DistanciaTiempo
  • Que se puede reorganizar a: Tiempo = DistanciaRapidez

Nos preguntan por sus rapideces promedio: c y 2c

La carrera se divide en dos partes:

1. Ciclismo

  • Distancia = 25 km
  • Rapidez promedio = 2c km/h
  • Por lo tanto, tiempo = DistanciaRapidez Promedio = 252c horas

2. Carrera

  • Distancia = 20 km
  • Rapidez promedio = c km/h
  • Por lo tanto, tiempo = DistanciaRapidez Promedio = 20c horas

Joel completa la carrera en menos de 2½ horas

  • Tiempo total < 2½
  • 252c + 20c < 2½

Resuelve:

Empieza con:252c + 20c < 2½
Multiplica todos los términos por 2c:25 + 40 < 5c
Simplifica:65 < 5c
Divide ambos lados por 5:13 < c
Voltea:c > 13

Por lo tanto, su rapidez promedio de carrera es mayor a 13 km/h y su rapidez promedio de ciclismo es mayor a 26 km/h.

En este ejemplo, podemos usar dos desigualdades a la vez:

lanzamiento de pelota de tenis

Ejemplo: La velocidad v m/s de una pelota lanzada directamente al aire viene dada por v = 20 - 10t, donde t es el tiempo en segundos.

¿A qué horas la velocidad estará entre 10 m/s y 15 m/s?

Letras:

  • velocidad en m/s: v
  • tiempo en segundos: t

Fórmula:

  • v = 20 − 10t

Se nos pregunta el tiempo t cuando v está entre 5 y 15 m/s:

10  <  v  <  15
10  <  20 − 10t  <  15

Resuelve:

Empieza con:10  <  20 − 10t  <  15
Resta 20 de cada uno:10 − 20  <  20 − 10t − 20  <  15 − 20
Simplifica:−10  < −10t  <  −5
Divide cada uno por 10:−1  < −t  <  −0.5
Cambia signos y revierte desigualdades:1  >  t  >  0.5
Es más ordenado mostrar el número más pequeño número, así que voltea:0.5  <  t  <  1

Entonces, la velocidad está entre 10 m/s y 15 m/s entre 0.5 y 1 segundos después.

Y un ejemplo razonablemente difícil de terminar:

Ejemplo: Dentro de una habitación rectangular caben al menos a 7 mesas, cada una de las cuales tiene 1 metro cuadrado de superficie. El perímetro de la sala es de 16m.

¿Cuál podría ser el ancho y el largo de la habitación?

tamaño de una habitación

Haz un boceto: no sabemos el tamaño de las mesas, solo su área, ¡pueden encajar perfectamente o no!

Asigna letras:
  • el largo de la habitación: L
  • el ancho de la habitación: A

La fórmula del perímetro es 2(A + L), y sabemos que es 16 m

  • 2(A + L) = 16
  • A + L = 8
  • L = 8 − A

También sabemos que el área de un rectángulo es el ancho por el largo: Área = A × L

Y el área debe ser mayor o igual a 7:

  • A × L ≥ 7

Se nos solicitan los posibles valores de A y L

 

Vamos a resolver:

Empieza con:A × L ≥ 7
Sustituye L = 8 − A:A × (8 − A) ≥ 7
Desarrolla:8A − A2 ≥ 7
Trae todos los términos al lado izquierdo:A2 − 8A + 7 ≤ 0

Ésta es una desigualdad cuadrática. Se puede resolver de muchas maneras, aquí lo resolveremos completando el cuadrado:

Mueve el término numérico −7 al lado derecho de la desigualdad:A2 − 8A ≤ −7
Completa el cuadrado en el lado izquierdo de la desigualdad y equilibra esto sumando el mismo valor al lado derecho de la desigualdad:A2 − 8A + 16 ≤ −7 + 16
Simplifica:(A − 4)2 ≤ 9
Saca la raíz cuadrada en ambos lados de la desigualdad:−3 ≤ A − 4 ≤ 3

Sí, tenemos dos desigualdades, porque 32 = 9 Y (−3)2 = 9

Suma 4 a ambos lados de cada desigualdad:1 ≤ A ≤ 7

Por lo tanto, el ancho debe estar entre 1m y 7m (inclusive) y el largo es de 8−A.

 

Comprobación:

  • Sea A = 1, entonces L = 8−1 = 7, y A = 1 x 7 = 7 m2 (caben exactamente 7 mesas)
  • Sea A = 0.9 (menos que 1), entonces L = 7.1, y A = 0.9 x 7.1 = 6.39 m2 (no caben 7 mesas)
  • Sea A = 1.1 (un poco más que 1), entonces L = 6.9, y A = 1.1 x 6.9 = 7.59 m2 (7 mesas caben fácilmente)
  • Análogamente para A alrededor de 7m

 

¡Intenta resolver las siguientes preguntas sobre este tema! (Nota: están en inglés).

5550,5551,5552,5553,7083,9376,9377,9378,2727,7182
Desigualdades Resolviendo Desigualdades Graficando Desigualdades Lineales Graficador de Desigualdades Índice de Álgebra