Resolviendo Desigualdades Cuadráticas
... y más ...
Cuadrática
Una Ecuación Cuadrática (en Forma Estándar) se ve así:
Una ecuación cuadrática en forma estándar
(a, b y c pueden tener cualquier valor, excepto
que a no puede ser 0.)
La anterior es una ecuación (=) pero a veces necesitamos resolver desigualdades como éstas:
|
Símbolo
|
Significado
|
Ejemplo
|
||
|---|---|---|---|---|
|
>
|
mayor que
|
x2 + 3x > 2
|
||
|
<
|
menor que
|
7x2 < 28
|
||
|
≥
|
mayor o igual que
|
5 ≥ x2 − x
|
||
|
≤
|
menor o igual que
|
2y2 + 1 ≤ 7y
|
||
Resolviendo
Resolver desigualdades es muy parecido a resolver ecuaciones ... hacemos la mayoría de las mismas cosas.
| Al resolver ecuaciones tratamos
de encontrar puntos, "como los señalados "=0" |
 |
| Pero cuando resolvemos desigualdades,
tratamos de encontrar intervalo (o intervalos), tales como los señalados como ">0" ó "<0" |
Entonces esto es lo que hay que hacer:
- encuentra los puntos "= 0"
- entre los puntos "= 0", hay intervalos que son
- mayores que cero (> 0), o
- menores que cero (<0)
- luego elige un valor de prueba para averiguar cuál es (>0 ó <0)
Aquí hay un ejemplo:
Ejemplo: x2 − x − 6 < 0
x2 − x − 6 tiene factores simples (¡porque quería hacerlo fácil!):
(x+2)(x−3) < 0
En primer lugar, vamos a encontrar dónde es igual a cero:
(x+2)(x−3) = 0
Es igual a cero cuando x = −2
ó x = +3
porque cuando x = −2, entonces (x+2) es cero
o cuando x = +3, entonces (x−3) es cero
Entonces, entre −2 y +3, la función será
- siempre mayor que cero, o
- siempre menor que cero
No sabemos cuál ... ¡todavía!
Seleccionemos un valor intermedio y probémoslo:
Y ésa es la región que queremos, así que ...
x2 − x − 6 < 0 en el intervalo (−2, 3)
Nota: x2 − x − 6 > 0 en los intervalos (−∞,−2) y (3, +∞)
|
Aquí está la gráfica de x2 − x − 6:
|
 |
Prueba también el Graficador de Desigualdades.
¿Qué tal si no pasa por cero?
 |
Aquí está la gráfica de x2 − x + 1 ¡No hay puntos "=0"! ¡Pero eso hace las cosas más fáciles! |
|
Debido a que la línea no cruza a través de y = 0, debe ser:
Entonces, todo lo que tenemos que hacer es probar un valor (digamos x=0) para ver si está arriba o abajo. |
|
Un ejemplo del "mundo real"
Un doble de acrobacias saltará de un edificio de 20m.
Una cámara de alta velocidad está lista para filmarlo entre 15m y 10m
sobre el suelo.
¿Cuándo debería filmarlo la cámara?Podemos usar esta fórmula para la distancia y el tiempo:
d = 20 − 5t2
- d = distancia sobre el suelo (m), y
- t = tiempo desde el salto (segundos)
(Nota: si tienes curiosidad acerca de la fórmula, se simplifica de d = d0 + v0t + ½a0t2 , donde d0=20, v0=0, y a0=−9.81, la aceleración de la gravedad.)
OK, sigamos.
Primero, bosquejemos la pregunta:
La distancia que queremos es de 10m a 15m:
10 < d < 15
Y sabemos la fórmula para d:
10 < 20 − 5t2 < 15
¡Ahora vamos a resolverlo!
Primero, restemos 20 de ambos lados:
−10 < −5t2 <−5
Ahora multiplica ambos lados por −(1/5). Pero debido a que estamos multiplicando por un número negativo, las desigualdades cambiarán de dirección ... lee Resolviendo Desigualdades para ver porqué.
2 > t2 > 1
Para tener un mejor orden, el número más pequeño debe estar a la izquierda y el más grande a la derecha. Así que intercambiemos (y asegurémonos de que las desigualdades todavía apuntan correctamente):
1 < t2 < 2
Por último, podemos sacar raíces cuadradas de forma segura, ya que todos los valores son mayores que cero:
√1 < t < √2
Podemos decirle al equipo de filmación:
"Graben de 1.0 a 1.4 segundos después del salto"
Grados más altos que el cuadrático
Las mismas ideas pueden ayudarnos a resolver desigualdades más complicadas:
Ejemplo: x3 + 4 ≥ 3x2 + x
Primero, pongámoslo en forma estándar:
x3 − 3x2 − x + 4 ≥ 0
Esta es una ecuación cúbica (el máximo exponente es un cubo, es decir, x3), y es difícil de resolver, así que mejor vamos a graficarla
Las raíces son aproximadamente:
- −1.1
- 1.3
- 2.9
Y a partir de la gráfica podemos ver los intervalos donde es mayor que (o igual a) cero:
- De −1.1 a 1.3, y
- De 2.9 en adelante
En notación de intervalos podemos escribir:
Aproximadamente: [−1.1, 1.3] U [2.9, +∞)
¡Intenta resolver las siguientes preguntas sobre este tema! (Nota: están en inglés).
